Dobbelt integrert. Oppgaver. egenskaper

Problemer som fører til begrepet "dobbelt integrert".

1. Anta at et flymaterialeen plate på hvert punkt som densitet er kjent. Vi må finne massen av denne tallerkenen. Siden denne platen har klare dimensjoner, kan den innelukkes i et rektangel. Platenes tetthet kan også forstås som følger: På de punktene i rektangelet som ikke tilhører platen, antar vi at tettheten er null. Vi definerer en jevn deling i like mange partikler. Dermed vil den gitte formen bli delt inn i elementære rektangler. Tenk på en av disse rektanglene. Vi velger noe punkt i dette rektangel. På grunn av den lille størrelsen på et slikt rektangel, antar vi at tettheten ved hvert punkt i det gitte rektangel er en konstant verdi. Da vil massen av en slik rektangulær partikkel bli definert som multiplikasjonen av tettheten på dette punktet ved rektangelområdet. Området, som du vet, er multiplikasjonen av lengden av rektangelet ved bredden. Og på koordinatplanet - denne endringen med litt trinn. Da vil massen av hele platen være summen av massene av slike rektangler. Hvis vi går til grensen i et slikt forhold, så kan vi få et nøyaktig forhold.
2. Vi definerer en romlig kropp som er begrensetOpprinnelsen til koordinater og noen funksjon. Det er nødvendig å finne volumet av den angitte kroppen. Som i det forrige tilfelle deler vi området i rektangler. Vi antar at på punkter som ikke tilhører domenet, vil funksjonen være 0. Vurder en av de rektangulære partisjonene. Gjennom sidene av dette rektangel tegner vi plan som er vinkelrett på abscissen og ordinataksene. Vi får en parallellpiped, som er begrenset underfra av flyet i forhold til applikatorens akse, og ovenfra av funksjonen som ble spesifisert i tilstanden til problemet. Vi velger et punkt midt i rektangelet. På grunn av den lille størrelsen på dette rektangelet, kan vi anta at funksjonen i dette rektangelet har en konstant verdi, og deretter kan du beregne volumet av rektangelet. Og volumet av en figur vil være lik summene av alle volumer av slike rektangler. For å få den nøyaktige verdien, må du gå til grensen.

Som det fremgår av problemene, konkluderer vi i hvert eksempel at ulike problemer fører til overveielse av dobbeltsummer av samme type.

Egenskaper av dobbeltintegralet.

La oss sette problemet. Anta at i en bestemt lukket region er en funksjon av to variabler gitt, for hvilken den oppgitte funksjonen er kontinuerlig. Siden området er begrenset, kan du sette det i et hvilket som helst rektangel som helt inneholder egenskapene til punktet til det angitte området. Vi deler rektangelet i like deler. Vi kaller diameteren for å bryte den største diagonalen fra de resulterende rektanglene. Nå velger vi et punkt i grensene til et slikt rektangel. Hvis vi finner en verdi på dette tidspunktet for å legge til summen, vil en slik summe bli kalt integrert for funksjonen i det angitte domenet. Vi finner grensen til en slik integrert sum under betingelsene at nedbrytningens diameter følger til 0, og antall rektangler til uendelig. Hvis en slik grense eksisterer og ikke er avhengig av hvordan regionen er delt inn i rektangler og fra valg av et punkt, så kalles det en dobbel integrering.

Det geometriske innholdet i dobbeltintegralet: det dobbelte integralet er numerisk lik kroppens volum, som ble beskrevet i problem 2.

Å vite det doble integralet (definisjonen), kan du angi følgende egenskaper:

1. Konstanten kan tas utenfor integralskiltet.
2. Integralet av summen (forskjellen) er lik summen (differansen) av integralene.
3. Av funksjonene er mindre den som har en dobbel integrering.
4. Modulen kan innføres under det dobbelte integrerte tegnet.